関関同立数学の絶対値で場合分けが抜ける人へ｜境界・等号・解の確認手順

場合分けは、式を使える範囲を決める作業

場合分けは、解説の形をまねて行を増やすためのものではありません。同じ操作をしてよい範囲と、式の扱いを変える範囲を区別する作業です。

たとえば実数uの絶対値は、uが0以上なら|u| = u、uが0未満なら|u| = −uです。中身の符号によって、絶対値を外したあとの式が変わります。この定義はOpenStaxの絶対値関数の解説でも確認できます。

|x − 2|を、すべてのxでx − 2に置き換えることはできません。x = 0なら、元の絶対値は2、x − 2は−2で一致しないからです。xが2以上のときに限って、その外し方を使えます。

場合分けが苦手なときは、「なぜここで分けるのか」を一言で残しましょう。この例なら「x − 2の符号がx = 2で変わるため」です。境界だけを暗記せず、どの式の符号が変わるかを説明します。

数学全体の勉強順序を整理したい場合は、関関同立の数学対策を参照してください。本稿では、その中でも条件の書き分けに絞って練習します。

絶対値の境界を並べて区間を作る

次の関数を、独自の練習例として考えます。ここではxは実数で、ほかに定義域の制限はありません。

f(x) = |x − 2| + |x + 1|

二つの絶対値を別々に見て、まず中身が0になる値を探します。x − 2 = 0からx = 2、x + 1 = 0からx = −1です。境界を小さい順に並べると、−1、2となります。

1. 変化する式を探す。今回はx − 2とx + 1の符号を確認する。
2. 境界を求める。それぞれが0になるxを計算し、−1、2の順に置く。
3. 区間ごとの符号を確かめる。−1より左、−1と2の間、2より右で各式の符号を確認する。
4. 等号の担当を決める。境界の値を落とさないよう、条件を不等号付きで書く。

この例で、x − 2が正、x + 1が負という組合せは起こりません。前者にはx > 2、後者にはx < −1が必要で、同時に満たせないからです。二つの絶対値があるからといって、実現できない組合せまで機械的に計算する必要はありません。

境界を数直線上で順に並べると、起こる組合せを整理できます。ただし、一般の複雑な式では符号が変わる条件を改めて調べます。「絶対値が二つなら必ず三区間」という規則にはしないでください。

等号を決め、各区間の式を残す

今回は、x < −1、−1 ≤ x < 2、x ≥ 2の三区間に分けます。x = −1は真ん中、x = 2は右の区間が受け持つため、実数全体を漏れなく、重複なく扱えます。

式の左や上に条件を付け、その区間を離れても式だけが使われないようにします。真ん中では、xの項が打ち消し合うため、f(x)は3で一定です。

境界で中身が0になる絶対値は、プラスでもマイナスでも値は0です。この例なら、境界を隣の区間へ含める別の分け方もできます。大切なのは、採用した条件と式が整合し、境界をどこかで確実に扱うことです。

端点を含むかどうかを明示する考え方は、OpenStaxの定義域・区分的な関数の解説でも確認できます。絶対値以外の問題では、境界の値が定義域から除かれる場合もあるので、等号を無条件に付けるわけではありません。

求めた候補を条件に戻して解を選ぶ

先ほどの関数について、f(x) = 5を解きます。各区間で計算し、得た数値がその区間に入るかを確認します。

• x < −1：−2x + 1 = 5からx = −2。−2 < −1なので採用。
• −1 ≤ x < 2：3 = 5となり、成り立たない。この区間に解はない。
• x ≥ 2：2x − 1 = 5からx = 3。3 ≥ 2なので採用。

したがって解はx = −2、3です。元の式への代入でも、x = −2なら4 + 1 = 5、x = 3なら1 + 4 = 5となります。

区間で解いた式の答えは、最初は「候補」として扱います。たとえば同じ関数でf(x) = 1を考えると、左の式からはx = 0が出ます。しかし左の条件x < −1を満たさないため、解にできません。右の式から出るx = 1もx ≥ 2を満たしません。真ん中では3 = 1なので解がなく、全体として解なしです。

候補を元の式へ戻す確認と、各区間を漏れなく調べた確認は別です。代入で正しい候補と分かっても、まだ調べていない区間に別の解が残っている可能性があります。

答え合わせで境界と解の漏れを調べる

境界の重要性を確かめるため、f(x) = 3も考えます。真ん中の区間では式が常に3なので、−1 ≤ x < 2のすべての実数が解です。右の区間では2x − 1 = 3からx = 2が解になります。左の式で出るx = −1は、左の条件には入りませんが、真ん中の区間で扱われています。

まとめると、解は−1 ≤ x ≤ 2です。x = −1、2という二点だけが答えではありません。x = 0や1も、元の式の値は3になります。「方程式だから解は有限個」と思い込まず、その区間で式が恒等的に成り立つかを見ます。

1. 区間の網羅を点検する。元の定義域のうち、どの区間にも入らない値がないか。
2. 各式の適用範囲を点検する。求めた候補が、その計算をした区間に入るか。
3. 境界を点検する。等号が落ちていないか。同じ境界を二度数えていないか。
4. 結論を統合する。採用した解をまとめ、連続する範囲なら範囲として示す。

復習では、問題を丸ごと写すだけでなく、抜けた箇所を特定してください。「境界−1を見つけなかった」「x = 0を左の解として採用した」「真ん中の全区間を二点に縮めた」では、直す作業が異なります。

解説を閉じたあと、境界を探すところから条件と式を再現します。代表値の代入は符号の取り違えを発見する助けになりますが、区間全体での符号の根拠や、解の網羅性の証明の代わりにはしません。

よくある疑問と次の演習でやること

等号は必ず右側の区間に入れますか？

必ずではありません。今回の例では境界で隣の式の値が一致するため、条件と式が整合するように別の担当を決めても構いません。問題文が境界の扱いを指定している場合は、その指定を優先します。

数直線やグラフは毎回必要ですか？

毎回同じ図を作る必要はありません。ただし、境界の順序や区間を見失うときは、簡単な数直線が整理に役立ちます。グラフで解の見通しを得た場合も、答案では必要な式・条件・根拠を残してください。

答えが合えば、場合分けの条件は省いてよいですか？

記述では、その式が使える理由と範囲が伝わるように書きます。空所補充でも、手元の計算には条件を残すと解の採否を点検できます。どこまで答案に書くかは設問の解答形式に従い、全大学共通の採点規則とは考えないでください。

次の演習では、絶対値を含む問題を一問選び、計算前に「境界」「等号付きの区間」「その区間での式」を書いてみましょう。答え合わせでは、計算結果だけでなく、区間ごとの調査結果と最後の結論がつながっているかを確認します。

参考資料

• OpenStax / Rice University、College Algebra 2e：3.6 Absolute Value Functions、3.2 Domain and Range。2026年10月2日確認。定義・端点の扱いの確認に使用し、練習例と解説の文章は独自に作成。